矩阵的秩

k 阶子式

在 \(m \times n\) 阶矩阵 \(A\) 中, 任取 \(k\) 行 \(k\) 列, 位于这些行列交叉处的 \(k ^2\) 个元素按原相对位置构成的 \(k\) 阶行列式.

\(A \sim B \implies\) \(A\) 与 \(B\) 中非零子式的最高阶数相等.

矩阵的秩 R(A)

设在矩阵 \(A\) 中有一个不等于 \(0\) 的 \(r\) 阶子式 \(D\), 且所有 \(r + 1\) 阶子式(若存在)全等于 \(0\), 则 \(r\) 称为矩阵 \(A\) 的秩.

\(A\) 中有某个 \(s\) 阶子式不为零 \(\implies R(A) \geqslant s\).

\(A\) 中所有 \(t\) 阶子式为零 \(\implies R(A) < t\).

\[0 \leqslant R(A) \leqslant \min\{m, n\}\]

\[R(A^{\mathrm{T}}) = R(A)\]

\(n\) 阶矩阵 \(A\) - \(|A| \neq 0 \iff R(A) = n\)（可逆矩阵 | 满秩矩阵） - \(|A| = 0 \iff R(A) < n\)

\(A \sim B \implies R(A) = R(B)\).

\(P\), \(Q\) 可逆 \(\implies\) \(PAQ = B \implies R(A) = R(B)\).

\[\max\{R(A), R(B)\} \leqslant R(A, B) \leqslant R(A) + R(B)\]

若 \(b\) 为非零向量, 则 \(R(A) \leqslant R(A, b) \leqslant R(A) + 1\).

\[R(A + B) \leqslant R(A) + R(B)\]

\[R(AB) \leqslant \min\{R(A), R(B)\}\]

若 \(A_{m \times n} B_{n \times m} = O\), 则 \(R(A) + R(B) \leqslant n\).

若 \(AB = O\) 且 \(A\) 为列满秩矩阵, 则 \(B = O\).