\(\S\) 3-1 矩阵的初等变换
1. 矩阵的初等行变换
- 对换两行
- 以非零数 \(k\) 乘以某一行的所有元
- 把某一行的 \(k\) 倍加到另一行对应的元
2. 矩阵的初等列变换
- 对换两列
- 以非零数 \(k\) 乘以某一列的所有元
- 把某一列的 \(k\) 倍加到另一列对应的元
行等价 A vstack{r sim} B
\(A\) 经初等行变换变为 \(B\) \(\iff\) 存在 \(m\) 阶可逆矩阵 \(P\) 使得 \(PA = B\).
列等价 A vstack{c sim} B
\(A\) 经初等列变换变为 \(B\) \(\iff\) 存在 \(n\) 阶可逆矩阵 \(Q\) 使得 \(AQ = B\).
等价 A sim B
\(A\) 经初等变换变为 \(B\) \(\iff\) 存在可逆矩阵 \(P\), \(Q\) 使得 \(PAQ = B\).
等价的性质
反身性
\(A \sim A\)
对称性
\(A \sim B \implies B \sim A\)
传递性
\(A \sim B, B \sim C \implies A \sim C\)
初等矩阵
单位矩阵 \(E\) 经过一次初等变换得到的矩阵.
对 \(A\) 施行一次初等行变换 \(\iff\) 在 \(A\) 的左边乘相应的 \(m\) 阶初等矩阵.
对 \(A\) 施行一次初等列变换 \(\iff\) 在 \(A\) 的右边乘相应的 \(n\) 阶初等矩阵.
方阵 \(A\) 可逆的充要条件
\(A\) 可逆 \(\iff\) 存在有限个初等矩阵 \(P_1, P_2, \cdots, P_n\) 使得 \(A = P_1 P_2 \cdots P_n\).
\(A\) 可逆 \(\iff\) \(A \stackrel{\mathrm{r}}{\sim} E\).