行列式的性质

转置

行列式与它的转置行列式相等.

对换

对换行列式的两行(列),行列式变号.

若行列式有两行(列)完全相同,则此行列式等于零.

数乘

行列式的某一行(列)中所有元素都乘同一数 \(k\) ,等于用数 \(k\) 乘此行列式.

行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.

反馈

行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零.

把行列式的某一行(列)的各元素乘同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变

\[ \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & \cdots & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{1n} & \cdots & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{21}^{\prime} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & \cdots & a_{22}^{\prime} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{1n} & \cdots & a_{2n}^{\prime} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{21} + a_{21}^{\prime} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & \cdots & a_{22} + a_{22}^{\prime} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{1n} & \cdots & a_{2n} + a_{2n}^{\prime} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} \]