行列式按行 (列) 展开

余子式

把 \((i, j)\) 元 \(a_{ij}\) 所在的第 \(i\) 行和第 \(j\) 行划去后,留下来的 \(n - 1\) 阶行列式 \(M_{ij}\)

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代数余子式

\[A_{ij} = (-1) ^{i+j} M_{ij}\]

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降阶

一个 \(n\) 阶行列式, 第 \(i\) 行所有元素除 \((i, j)\) 元 \(a_{ij}\) 外部都为零, 则这个行列式等于 \(a_{ij}\) 与它的代数余子式的乘积.

\[D = a_{ij} A_{ij}\]

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行列式按行(列)展开规则

(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和

\[ D = a_{i1} A_{i1} + a_{i2} A_{i2} + \cdots + a_{in} A_{in} \quad (i = 1, 2, \cdots, n) \]

或

\[ D = a_{1j} A_{1j} + a_{2j} A_{2j} + \cdots + a_{nj} A_{nj} \quad (j = 1, 2, \cdots, n) \]

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行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零

\[ a_{i1} A_{j1} + a_{i2} A_{j2} + \cdots + a_{in} A_{jn} = 0 \quad (i \ne j) \]

或

\[ a_{1i} A_{1j} + a_{2i} A_{2j} + \cdots + a_{ni} A_{nj} = 0 \quad (i \ne j) \]