克拉默法则

设有 \(n\) 个未知数 \(x_1, x_2, \cdots, x_n\) 的 \(n\) 个线性方程的方程组:

\[ \begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + \cdots + a_{nn} x_n = b_n \end{cases} \]

若系数矩阵 \(A\) 的行列式不为零:

\[|A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \neq 0\]

则方程组有惟一解:

\[x_1 = \frac{|A_1|}{|A|},\quad x_2 = \frac{|A_2|}{|A|},\quad \cdots,\quad x_n = \frac{|A_n|}{|A|}\]

其中 \(A_j\;(j = 1, 2, \cdots, n)\) 是把系数矩阵 \(A\) 中第 \(j\) 列的元素用方程组右端的常数项代替后得到的 \(n\) 阶矩阵:

\[A_j = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1,\,j-1} & b_1 & a_{1,\,j+1} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,\,j-1} & b_n & a_{n,\,j+1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}\]