逆矩阵
逆矩阵的定义、性质和求法
对于 \(n\) 阶矩阵 \(A\), 若存在 \(n\) 阶矩阵 \(B\) 使得
\[AB = BA = E\]
则矩阵 \(A\) 可逆, 矩阵 \(B\) 是 \(A\) 的逆矩阵.
矩阵可逆的充要条件
矩阵 \(A\) 可逆 \(\iff |A| \neq 0\).
\[A^{-1} = \frac{1}{|A|}\,A^\ast\]
可逆矩阵 非奇异矩阵
\(|A| \neq 0\).
若 \(AB = E\) (或 \(BA = E\)), 则 \(A\) 可逆且 \(B = A^{-1}\).
\(A\) 可逆 \(\implies\) \(A^{-1}\) 也可逆, 且 \((A^{-1})^{-1} = A\).
\(A\) 可逆且 \(\lambda \neq 0\) \(\implies\) \(\lambda A\) 可逆, 且 \((\lambda A)^{-1} = \dfrac{1}{\lambda} A^{-1}\).
\(A\), \(B\) 为同阶矩阵且可逆 \(\implies\) \(AB\) 可逆, 且 \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\).
逆矩阵的初步应用
矩阵的 \(m\) 次多项式
\[\varphi(A) = a_0 E + a_1 A + \cdots + a_m A^m\]
若 \(A = P\Lambda P^{-1}\), 则
\[A^k = P\Lambda^k P^{-1}\]
\[\varphi(A) = P\varphi(\Lambda)P^{-1}\]
对角矩阵的幂
\[\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n)\]
\[\Lambda^k = \operatorname{diag}(\lambda_1^k, \lambda_2^k, \cdots, \lambda_n^k)\]
\[\varphi(\Lambda) = a_0 E + a_1 \Lambda + \cdots + a_m \Lambda^m\]