1 整除的概念与基本性质

预设 本文仅讨论整数,因为这是初等数论.

定义 对仍给的两个整数 \(a\)、\(b(a \ne 0)\)，如果存在整数 \(q\)，使得 \(b = a q\)，那么称 \(b\) 能被 \(a\) 整除（或称 \(a\) 能整除 \(b\)），记作 \(a \mid b\)，否则，称 \(b\) 不能被 \(a\) 整除，记作 \(a \nmid b\).

名词 如果 \(a \mid b\)，那么称 \(a\) 为 \(b\) 的因数，\(b\) 为 \(a\) 的倍数。

实例 | \(1\) 是整数的因数,包括 \(0\). | \(2\) 是偶数的因数. | \(3\) 的倍数的十进制各位的和是 \(3\) 的倍数. | \(0\) 不是任何数的因数.

性质 \(a \mid b \Leftrightarrow a \mid (-b) \Leftrightarrow (-a) \mid b\)

性质 \(a \mid b\)，\(b \mid c \Rightarrow a \mid c\)

性质 如果 \(a \mid b, a \mid c\)，那么对于任意正整数 \(x\)，\(y\)，都有 $\(a \mid b x + c y\)$

实例 | \(2 | 6 , 2 | 4, 2 | 6a + 4b\) | \(2 | a , 2 | b, 2 | 3a + 4b\)

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整除作为序

整除是一种序关系,可以从这个角度理解整除.

\(a \mid b \to a \le b\) , \(\le\) 是也序,事实上 \(\le\) 和 \(\mid\) 的性质有相似之处.

表述 自反性

\[ \forall a \in U \ a \preceq a \]

表述 反对称性

\[ \forall a \in U \ \forall b \in U \ a \preceq b \wedge b \preceq a \to a = b \]

此处的相等关系不仅仅是一个记号,而且表明两者可以在语境下无作用地替换另一者.

表述 传递性

\[ \forall a \in U \ \forall b \in U \ \forall c \in U \ a \preceq b \wedge b \preceq c \to a \preceq c \]

不难发现,整除和 \(\le\) 都有这样的性质.

不是那么显然地, \(\le\) 在这些性质上还有附加约束,这个约束并没有体现在整除的定义.

\(\le\) 是全序关系,而整除不是.

表述 全序性

\[ \forall a \in U \ \forall b \in U \ a \le b \vee b \le a \vee a = b \]

或者也可以写作

\[ \forall a \in U \ \forall b \in U \ a \le b \vee b \le a \]

那么整除是否有一些 \(\le\) 没有的性质?

可以说,整除存在不可比的元素,这确实是性质.但是除此之外,大概就不容易想了.

注意到上文所归纳的最后一条性质,它还没有被提及. 从 \(\le\) 的角度看,这是显然成立的,因为 \(b x + c y\) 当然比 \(b\) 和 \(c\) 都更大. 所谓 \(\le\) 没有的性质就在其中.

表述 存在最小元

\[ \exists e \in U \ \forall a \in U \ e \mid a \]

这个性质并不是很显然,而且不像是性质,但 \(\le\) 确实没有最小元.

你可能会疑惑为什么 \(e\) 比负数还小. 这是一个名词上的问题,最小元的小是针对序而言的,而不是数字的大小.

显然,两者都没有最大元. 如果把这也看成性质,则可以说两者都不具有存在最大元的性质.

是否还能找到两者都有或都没有,或者只有一者具有的问题?请读者自行思考,虽然这和本文的主题无关.

序理论的知识浩瀚,不是本文的篇幅能受得了的,此处针对和整除关系有关的事,仅略作介绍.