二次函数的图像与性质
最简单的二次函数应当是 \(f(x) = x^2\) , 对应的图形的解析式为 \(y = x^2\) ,其中 \(y\) 轴为纵轴.
通过平移,可以得到处于不同位置的二次函数图像. 通过缩放,可以得到不同形状的二次函数图像.
此处不介绍旋转变换的事.
// TODO: 用图形平移的观点介绍顶点式,进而表述一般式.
一、二次函数的解析式
按一般形式,二次函数形如
另有顶点式
有 \(h\) 、 \(k\) 满足 \(h = -\frac{b}{2a}\) , \(k = c - \frac{b^2}{4a}\) . 这种形式直观地体现了其对应函数的最值和对称性,这在先前的《方程与方程组》篇幅有所表述.
另有
二、二次函数的图像与性质
\(y = ax^2 + bx +c\)
左右对称,对称轴为直线 \(x = -\frac{b}{2a}\) .
$\boxed 1\ \ $ \(a > 0\) | 开口向上
$\boxed 1\ \ $ \(x \in (-\infty ,-\frac{b}{2a}]\)
曲线下降.
$\boxed 2\ \ $ \(x = -\frac{b}{2a}\)
对应图形最低点 \(\left(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a}\right)\) .
$\boxed 3\ \ $ \(x \in [-\frac{b}{2a}, +\infty)\)
曲线上升.
$\boxed 2\ \ $ \(a > 0\) | 开口向下
$\boxed 1\ \ $ \(x \in (-\infty ,-\frac{b}{2a}]\)
曲线上升.
$\boxed 2\ \ $ \(x = -\frac{b}{2a}\)
对应图形最高点 \(\left(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a}\right)\) .
$\boxed 3\ \ $ \(x \in [-\frac{b}{2a}, +\infty)\)
曲线下降.
\(y = a(x - h)^2 + k\)
左右对称,对称轴为直线 \(x = h\) .
$\boxed 1\ \ $ \(a > 0\) | 开口向上
$\boxed 1\ \ $ \(x \in (-\infty , h]\)
曲线下降.
$\boxed 2\ \ $ \(x = h\)
对应图形最低点 \((h, k)\) .
$\boxed 3\ \ $ \(x \in [h, +\infty)\)
曲线上升.
$\boxed 2\ \ $ \(a > 0\) | 开口向下
$\boxed 1\ \ $ \(x \in (-\infty , h]\)
曲线上升.
$\boxed 2\ \ $ \(x = h\)
对应图形最高点 \((h, k)\) .
$\boxed 3\ \ $ \(x \in [h, +\infty)\)
\(y = a(x - x_1)(x - x_2)\)
左右对称,对称轴为直线 \(x = \frac{x_1 + x_2}{2}\) .
$\boxed 1\ \ $ \(a > 0\) | 开口向上
$\boxed 1\ \ $ \(x \in (-\infty , \frac{x_1 + x_2}{2}]\)
曲线下降.
$\boxed 2\ \ $ \(x = \frac{x_1 + x_2}{2}\)
对应图形最低点 \(\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, -a \cdot \frac{(x_1 - x_2)^2}{4}\right)\).
$\boxed 3\ \ $ \(x \in [\frac{x_1 + x_2}{2}, +\infty)\)
曲线上升.
$\boxed 2\ \ $ \(a > 0\) | 开口向下
$\boxed 1\ \ $ \(x \in (-\infty , \frac{x_1 + x_2}{2}]\)
曲线上升.
$\boxed 2\ \ $ \(x = \frac{x_1 + x_2}{2}\)
对应图形最高点 \(\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, -a \cdot \frac{(x_1 - x_2)^2}{4}\right)\).
$\boxed 3\ \ $ \(x \in [\frac{x_1 + x_2}{2}, +\infty)\)
2026-03-21