函数与二次不等式

上文讨论了一元二次函数与一元二次方程之间的关系,此处则讨论一元二次函数与一元二次不等式的关系.

取 \(a > 0\), 一元二次不等式可分为两种情形

\[a x ^2 + b x + c > 0\]

及其相反情形

\[a x ^2 + b x + c > 0\]

几何意义上,一元二次函数的函数值体现了对应的点的高度.

若 \(\Delta < 0\),即图形与 \(x\) 轴没有交点,那么对应的不等式的解集就很纯粹了.

\[a x^2 + b x + c > 0 \Rightarrow x \in \mathbb R\]

\[a x^2 + b x + c < 0 \Rightarrow x \in \varnothing\]

若 \(Delta = 0\),则前者解集除去零点,后者解集仍为 \(varnothing\) .

若 \(\Delta > 0\) ,则 \(x\) 轴是图形的割线.

\[a x^2 + b x + c > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\]

\[a x^2 + b x + c < 0 \Rightarrow x \in (x_1, x_2)\]

对于 \(a < 0\),情况同理.

以上讨论可推广到 \(\ge\) 和 \(\le\).

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2026-03-20