函数与一元二次方程
标题中所谓的函数是指一元二次函数
\[
y = a x ^2 + b x + c
\ \ \ \
a \ne 0
\]
所谓的方程是指一元二次方程
\[
x:
a x ^2 + b x + c = 0
\ \ \ \
a \ne 0
\]
在之前的篇幅,已相对充分地讨论关于一元二次方程的事,则这里主要讨论如何用一元二次方程研究一元二次函数.
函数的零点对应方程的解
一元二次函数与 \(x\) 轴的交点为 \((x_1, 0)\) 和 \((x_2, 0)\) ,而一元二次方程的解为 \(x_1\) 和 \(x_2\) ,它们是对应的.
仅仅在代数意义上,当 \(y = 0\) 时,两式在形式上是完全一样的.
函数的零点个数对应方程的判别式
记判别式
\[
\Delta = b ^2 - 4 a c
\]
\(\boxed 1\) | \(\Delta > 0\)
方程有两个不相等的实数根
函数图形与 \(x\) 轴有两个交点
\(\boxed 2\) | \(\Delta = 0\)
方程有两个相等的实数根
函数图形与 \(x\) 轴有一个交点
\(\boxed 3\) | \(\Delta < 0\)
方程有两个共轭复数根
函数图形与 \(x\) 轴无交点
2026-03-20