$Γ: y' \ {=} \ y ^2 + p y + q,\ p ^{\prime}

$\mathbf{Solution}\quad \alpha_0: x,\ x \Gamma y \quad \square$

$\Gamma_0 \ {=} \ \Gamma \mid \alpha_0$

## 1. 对数导数代换

令 u \ {=} \ y' / y （对数导数，要求 y ≠ 0）

则 y' \ {=} \ u y

y'' \ {=} \ u' y + u y' \ {=} \ u' y + u² y \ {=} \ (u' + u²) y

v

代入 Γ:

(u' + u²) y + p u y + q y \ {=} \ 0

v

消去 y（y ≠ 0 区间内）:

u' + u² + p u + q \ {=} \ 0 (∗)

此即 Riccati 方程（常数系数情形）

## 2. 常数特解

若 u 为常数，则 u' \ {=} \ 0，(∗) 退化为：

u² + p u + q \ {=} \ 0

这正是特征方程！记其两根为 r₁, r₂（可能相等或共轭复数）

于是 u ≡ r₁ 和 u ≡ r₂ 均为 (∗) 的特解

## 3. 已知一个特解求通解

Riccati 方程性质：若已知一个特解 u₁，则通解可设为

u \ {=} \ u₁ + 1/z

代入 (∗) 可得关于 z 的一阶线性方程

取 u₁ \ {=} \ r₁，令 u \ {=} \ r₁ + 1/z，代入 (∗):

利用 r₁² + p r₁ + q \ {=} \ 0，化简得：

z' - (2r₁ + p) z \ {=} \ 1 (†)

## 4. 解 (†) 并回代

记 Δ \ {=} \ 2r₁ + p

由韦达定理：r₁ + r₂ \ {=} \ -p ⇒ Δ \ {=} \ r₁ - r₂

### 情况 A：r₁ ≠ r₂（Δ ≠ 0）

(†) 的通解：

z \ {=} \ 1/(r₂ - r₁) + C e^{Δ x}

于是 u \ {=} \ r₁ + 1/z

再由 u \ {=} \ y'/y 得：

(ln y)' \ {=} \ u ⇒ ln y \ {=} \ ∫ u dx + const

积分后得到 y \ {=} \ C₁ e^{r₁ x} + C₂ e^{r₂ x}

### 情况 B：r₁ \ {=} \ r₂（Δ \ {=} \ 0）

(†) 化为 z' \ {=} \ 1 ⇒ z \ {=} \ x + C

于是 u \ {=} \ r₁ + 1/(x + C)

积分得 ln y \ {=} \ r₁ x + ln(x + C) + const

即 y \ {=} \ C₁ (x + C₂) e^{r₁ x}

### 情况 C：r₁, r₂ 共轭复数（Δ 纯虚数）

过程同情况 A，最终化为三角函数形式

## 5. 评注

- 此法不预先假设解的形式，而是通过 Riccati 方程自然导出特征方程

- 将“解二次方程”内嵌为求 Riccati 方程常数特解的一步

- 对变系数情形同样适用（此时需另找特解）

□