Γ: y'' + p y' + q y \ {=} \ 0

$\mathbf{Solution}\quad \alpha_0: x,\ x \Gamma y \quad \square$

$\Gamma_0 \ {=} \ \Gamma \mid \alpha_0$

α₁: 设 u \ {=} \ y'/y (对数导数)

则 y' \ {=} \ u y, y'' \ {=} \ (u' + u²) y

代入 Γ:

u' + u² + p u + q \ {=} \ 0 (Riccati 方程)

α₂: 求常数特解

设 u \ {=} \ const, 则 u' \ {=} \ 0 ⇒ u² + p u + q \ {=} \ 0

记此二次方程的两根为 r₁, r₂, 则 u \ {=} \ r₁, u \ {=} \ r₂ 均为常数特解

α₃: 取 u₁ \ {=} \ r₁, 令 u \ {=} \ r₁ + 1/z

代入 Riccati 方程（利用 r₁² + p r₁ + q \ {=} \ 0 消去常数项）:

z' - (2r₁ + p) z \ {=} \ 1

此为一阶线性方程

β: 解 z

情况 1: r₁ ≠ r₂ (此时 2r₁ + p \ {=} \ r₁ - r₂ ≠ 0)

z \ {=} \ 1/(r₂ - r₁) + C e^{(r₁ - r₂)x}

情况 2: r₁ \ {=} \ r₂ (此时 2r₁ + p \ {=} \ 0)

z \ {=} \ x + C

γ: 回代 u \ {=} \ r₁ + 1/z, 再由 u \ {=} \ y'/y 积分得 y

y \ {=} \ C₁ e^{∫ u dx}

积分后即得与特征根法一致的通解形式

注：此法将“解二次方程”内嵌为 Riccati 方程求常数特解的一步，

不预先假设 y \ {=} \ e^{rx}，而是自然导出。

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