\[\Gamma: y'' + p y' + q y \ {=} \ 0,\ p' \ {=} \ 0,\ q' \ {=} \ 0\]

$\mathbf{Solution}\quad \alpha_0: x,\ x \Gamma y \quad \square$

$\Gamma_0 \ {=} \ \Gamma \mid \alpha_0$

α₁: 设 y \ {=} \ e^{rx}, r ∈ ℂ

代入 Γ:

(r² + p r + q) e^{rx} \ {=} \ 0

⇒ r² + p r + q \ {=} \ 0

β: 记该二次方程的两根为 r₁, r₂

情况 1: r₁ ≠ r₂, r₁, r₂ ∈ ℝ

y \ {=} \ C₁ e^{r₁ x} + C₂ e^{r₂ x}

情况 2: r₁ \ {=} \ r₂ \ {=} \ r

y \ {=} \ (C₁ + C₂ x) e^{r x}

情况 3: r₁, r₂ \ {=} \ α ± iβ, β ≠ 0

y \ {=} \ e^{α x} (C₁ cos βx + C₂ sin βx)

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